如何通俗理解傅里葉變換

傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)是有史以來(lái)最深?yuàn)W的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。它們幫助我們將函數(shù)分解為其基本成分。它們揭示了任何數(shù)學(xué)函數(shù)的基本模塊，

使我們能夠利用這些模塊來(lái)更好地理解和操縱它們。但是，傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換背后的思想究竟是什么，這些 “基本成分 "又是什么？

我們?cè)诟咧卸紝W(xué)過(guò)什么是余弦和正弦。它們將直角三角形的角度與兩條邊長(zhǎng)之比聯(lián)系起來(lái)。

另一種理解方式是，余弦和正弦分別是繞單位圓移動(dòng)的點(diǎn)的 x 坐標(biāo)和 y 坐標(biāo)。它們是人們能想到的周期函數(shù)之一。

傅里葉級(jí)數(shù)用于周期函數(shù)。作為快速提示，如果以下條件成立，則稱函數(shù)  為周期函數(shù)，基本周期為 T：

我們將周期函數(shù)的基頻定義為 ，即基頻周期的倒數(shù)。如果周期告訴我們函數(shù)重復(fù)的頻率，

那么頻率則告訴我們每單位時(shí)間（或函數(shù)所依賴的任何其他單位）有多少次重復(fù)。

現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了定義傅立葉級(jí)數(shù)所需的一切。

傅里葉級(jí)數(shù)是正弦函數(shù)的無(wú)限加權(quán)和，每個(gè)正弦函數(shù)的頻率都是原始周期函數(shù)基頻的整數(shù)倍傅立葉級(jí)數(shù)的公式如下：

如果您已經(jīng)理解了有關(guān)傅里葉級(jí)數(shù)的所有內(nèi)容，那么傅里葉變換就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。這次我們關(guān)注的是非周期函數(shù)。傅立葉變換的公式如下：

傅立葉變換的結(jié)果是頻率的函數(shù)。請(qǐng)記住，希臘字母歐米茄 “ω"用來(lái)表示角頻率，它是乘積  的別稱。當(dāng)初始函數(shù)  是一個(gè)時(shí)間函數(shù)時(shí)，

傅里葉變換給出了該函數(shù)的頻率內(nèi)容。摘自維基百科的一句話：

時(shí)間函數(shù)的傅里葉變換是頻率的復(fù)值函數(shù)，其幅值（絕對(duì)值）代表原始函數(shù)中該頻率的量，其參數(shù)是該頻率中基本正弦波的相位偏移。

傅里葉變換并不局限于時(shí)間函數(shù)，但原始函數(shù)的域通常被稱為時(shí)域。

我們可以利用反傅里葉變換找回初始函數(shù)：

讓我們比較一下反傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)。

首先，我們使用復(fù)指數(shù)來(lái)表示正弦函數(shù)，而不是使用余弦函數(shù)和正弦函數(shù)（這會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)積分），這樣會(huì)更加簡(jiǎn)潔。積分前的系數(shù) 1/2π 是為了對(duì)稱的目的。

我們馬上會(huì)注意到的另一件重要事情是，我們現(xiàn)在有了一個(gè)積分，而不是離散的 “西格瑪 "和。請(qǐng)記住，積分本身也是和，不同的是，在積分下求和的量是連續(xù)的，而不是離散的。由于初始函數(shù)  現(xiàn)在是非周期的，我們需要所有可能的頻率（從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮）來(lái)表示它。在傅里葉級(jí)數(shù)的情況下，我們只使用 T 的整數(shù)倍。由于我們現(xiàn)在沒(méi)有基本周期 T，我們不得不使用所有的 T。

至于復(fù)指數(shù)的系數(shù)，我們可以得到該函數(shù)在每個(gè)可能頻率 ω 下的傅里葉變換值。正如您所看到的，從傅里葉級(jí)數(shù)的概念到反傅里葉變換的概念之間存在著明顯的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。